Un fractal (ou une fractale) est un objet irrégulier, dont l'irrégularité est la même à toutes les échelles et en tous les points. Ils ont apporté une nouvelle forme de beauté. Beaucoup d'objets naturels possèdent des parties semblables au tout : une fleur de chou-fleur est un chou-fleur en réduction, une branche d'arbre est un arbre en miniature, etc. C'est cette remarque fondamentale qui va nous permettre de construire des objets fractals.

  
Nous commencerons par les figures fractales les plus simples.
Prenons l’exemple de la « courbe » ou « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral la transformation suivante : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée. À la première itération on obtient une image proche d’une étoile à six branches, puis au fur et à mesure des itérations successives la texture ressemble plus ou moins à un flocon de neige. Là encore, plus on zoom la « courbe », autant on observera les mêmes détails quelque soit le nombre d’itérations, même s'il tend vers l'infini (ou, au moins, assez important). Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives, le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie. En réalité, à la première itération la longueur l de chaque côté est remplacée par 4 l / 3 ; à la deuxième elle devient 16 l / 9... Autrement dit, à chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension des objets fractals. Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à log 4 / log 3. Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Enfin, une dernière propriété : cette courbe est continue en tout point, mais non dérivable en tout point (il n'est pas possible de tracer une tangente sur un point quelconque de la courbe).