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mn.lagneau2@orange.fr


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BIENVENUE DANS
LE MONDE DE L'ART FRACTAL
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Il ne fait aucun doute
que la découverte des fractals (ou fractales) est
l'une des grandes percées scientifiques de la seconde
moitié du XXe siècle. Le monde qui nous
entoure, qui nous paraît stable, est en fait en
mouvement continu. L'identification des structures fractales
par Mandelbrot en 1975 est sans doute l'une des grande
découverte du dernier siècle. C'est la mise en
évidence d'une géométrie surprenante,
le plus souvent cachée, qui apparaît presque
partout dans la nature. Il est incroyable que le grand
public ne soit pas informé de cette découverte
majeure des fractals et de tout ce qui s'y rattache.
Ce site n'a pas la
prétention de couvrir tous les champs d'application
des fractals. A cet effet, de nombreux liens sont
donnés afin de couvrir le champ le plus large
possible. Il se propose plutôt de dévoiler
l'art fractal dans les images et le son. Sans formation
mathématiques, il est possible de comprendre les
concepts de fractals car ils sont souvent
énoncés par des formulations simples.
Si les fractals ont tout
d'abord été décrits dans la nature, ils
sont également utilisés dans l'art. Les
artistes ont tout de suite été séduits
par la beauté des structures fractales. C'est
pourquoi ils ont entrepris de découvrir les immenses
possibilités de ce monde des fractals en exploitant
les richesses d'un point de vue de la seule
esthétique. La beauté, la forme, les
contrastes inspirent les peintres et les musiciens.
Ainsi, vous pourrez
découvrir sur ce site des images fractales
classiques, des images fractales originales
créées de toute pièce par des
algorithmes, ces algorithmes pouvant être des
logiciels connus téléchargés depuis
Internet (Fractint, Gecif, UltraFractal,...) où il
suffit de rentrer soit des paramètres, soit une
équation quelconque pour obtenir des images
spectaculaires, mais aussi par des algorithmes
«maison» créés en Basic ou en Maple.
Dans ces derniers cas, on pousse alors les recherches d'une
façon plus approfondie et plus riche que dans le cas
des logiciels «tout faits».
La composition musicale
assistée par ordinateur constitue également
l'une des grandes possibilités de création
assez facile à appréhender. Elle obéit
aux même règles de création que pour les
images : soit on utilise un logiciel que l'on se procure sur
Internet (Musiclab, a Musical Generator, Art Song, Musicnum,
FractMus25,...), soit on écrit soit- même ses
programmes, ce qui est mieux car on peut pousser beaucoup
plus loin son imagination. En fait, le but est d'explorer,
parmi d'innombrables structures mathématiques
(algébriques, fractales, chaos, ...) celles qui,
traduites en sons et en images, apportent de
l'esthétique et de l'émotion. Il est donc
possible de composer de la musique directement à
partir de l'ordinateur, en utilisant des formes
mathématiques (des courbes en général,
voire des surfaces). Chaque point d'une courbe (ou d'une
image fractale) pourra être associée à
une note de musique, ou un son. Ne soyez pas effrayés
par les maths : il n'est nul besoin d'être bon en
mathématiques pour créer de la musique
algorithmique ; il suffit seulement de faire usage
d'équations prise «au hasard» , et
d'être patient afin d'avoir la chance de tomber sur
une forme esthétique, agréable à
entendre. Sur ce site, vous pourrez écouter quelques
compositions, et il vous sera expliqué la
méthode sur des exemples.
GENERALITES SUR
LES FORMES FRACTALES
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Un fractal (ou une
fractale) est un objet irrégulier, dont
l'irrégularité est la même à
toutes les échelles et en tous les points. Ils ont
apporté une nouvelle forme de beauté. Beaucoup
d'objets naturels possèdent des parties semblables au
tout : une fleur de chou-fleur est un chou-fleur en
réduction, une branche d'arbre est un arbre en
miniature, etc. C'est cette remarque fondamentale qui va
nous permettre de construire des objets fractals.

Nous commencerons par
les figures fractales les plus simples.
Prenons l’exemple de la « courbe » ou «
flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient
en appliquant à chaque côté d’un
triangle équilatéral la transformation
suivante : on remplace le 1/3 central de chaque
côté par 2 segments ayant la même
longueur que celle qui a été
prélevée. À la première
itération on obtient une image proche d’une
étoile à six branches, puis au fur et à
mesure des itérations successives la texture
ressemble plus ou moins à un flocon de neige.
Là encore, plus on zoom la « courbe »,
autant on observera les mêmes détails quelque
soit le nombre d’itérations, même s'il tend
vers l'infini (ou, au moins, assez important). Ce type de
courbe présente une particularité bien
curieuse. La première intuition conduit à
penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en
plus petits au fur et à mesure des itérations
successives, le périmètre de cette figure tend
vers une valeur limite finie. En réalité,
à la première itération la longueur l
de chaque côté est remplacée par 4 l / 3
; à la deuxième elle devient 16 l / 9...
Autrement dit, à chaque itération la longueur
est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que
(contrairement à l’intuition première) la
longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un
nombre d’itérations infini. Une autre
propriété encore moins intuitive est relative
à la dimension des objets fractals. Nous savons tous
qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne
droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane
est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension
3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs
méthodes mathématiques pour exprimer la
dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on
peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui
a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une
région très limitée du plan, doit avoir
des propriétés très
particulières. En fait on peut démontrer que
sa dimension est égale à log 4 / log 3.
Presque tous les objets fractals ont des dimensions non
entières. Enfin, une dernière
propriété : cette courbe est continue en tout
point, mais non dérivable en tout point (il n'est pas
possible de tracer une tangente sur un point quelconque de
la courbe).
GENERALITES SUR
LES FORMES ALGEBRIQUES
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Des étranges
musiques ou images issues d'équations
mathématiques particulières n'ont pas fini
d'étonner, que ce soient les enfants de la
génération techno, ou les plus anciens. Mais
comment manipuler les paramètres d'une fonction
mathématique ou d'une fractale sans être un as
des maths ? Très simple : au hasard ! Une
première méthode consiste, comme les enfants
le font, à repérer des motifs pseudo-
figuratifs dans les entrelacs des modèles choisis eux
aussi au hasard. En cliquant sur les rubriques :
«
musique
algébrique et formes
algébriques
»
vous aurez un aperçu de la
méthode.
Les courbes fractales sont souvent
reliées à la théorie du chaos.
Certaines suites mathématiques (une condition
nécessaire mais non suffisante est que leurs
équations soit non linéaires, c'est à
dire comportant des carrés) se caractérisent
par une sensibilité extrême aux conditions
initiales : il est impossible de prédire le
comportement de la suite après n
itérations (convergence ou divergence) dans une
certaine région du plan ou de l'espace, tout
simplement parce qu'un point initial donné et son
voisin immédiat, quelle que soit l'échelle,
produiront deux comportements très différents
(convergence ou divergence de la suite qu'ils initient,
à des vitesses plus ou moins rapides).
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jour le :
1er février 2021
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