ART-FRACTAL

Il ne fait aucun doute que la découverte des fractals (ou fractales) est l'une des grandes percées scientifiques de la seconde moitié du XXe siècle. Le monde qui nous entoure, qui nous paraît stable, est en fait en mouvement continu. L'identification des structures fractales par Mandelbrot en 1975 est sans doute l'une des grande découverte du dernier siècle. C'est la mise en évidence d'une géométrie surprenante, le plus souvent cachée, qui apparaît presque partout dans la nature. Il est incroyable que le grand public ne soit pas informé de cette découverte majeure des fractals et de tout ce qui s'y rattache.

Ce site n'a pas la prétention de couvrir tous les champs d'application des fractals. A cet effet, de nombreux liens sont donnés afin de couvrir le champ le plus large possible. Il se propose plutôt de dévoiler l'art fractal dans les images et le son. Sans formation mathématiques, il est possible de comprendre les concepts de fractals car ils sont souvent énoncés par des formulations simples.

Si les fractals ont tout d'abord été décrits dans la nature, ils sont également utilisés dans l'art. Les artistes ont tout de suite été séduits par la beauté des structures fractales. C'est pourquoi ils ont entrepris de découvrir les immenses possibilités de ce monde des fractals en exploitant les richesses d'un point de vue de la seule esthétique. La beauté, la forme, les contrastes inspirent les peintres et les musiciens.

Ainsi, vous pourrez découvrir sur ce site des images fractales classiques, des images fractales originales créées de toute pièce par des algorithmes, ces algorithmes pouvant être des logiciels connus téléchargés depuis Internet (Fractint, Gecif, UltraFractal,...) où il suffit de rentrer soit des paramètres, soit une équation quelconque pour obtenir des images spectaculaires, mais aussi par des algorithmes «maison» créés en Basic ou en Maple. Dans ces derniers cas, on pousse alors les recherches d'une façon plus approfondie et plus riche que dans le cas des logiciels «tout faits».

La composition musicale assistée par ordinateur constitue également l'une des grandes possibilités de création assez facile à appréhender. Elle obéit aux même règles de création que pour les images : soit on utilise un logiciel que l'on se procure sur Internet (Musiclab, a Musical Generator, Art Song, Musicnum, FractMus25,...), soit on écrit soit- même ses programmes, ce qui est mieux car on peut pousser beaucoup plus loin son imagination. En fait, le but est d'explorer, parmi d'innombrables structures mathématiques (algébriques, fractales, chaos, ...) celles qui, traduites en sons et en images, apportent de l'esthétique et de l'émotion. Il est donc possible de composer de la musique directement à partir de l'ordinateur, en utilisant des formes mathématiques (des courbes en général, voire des surfaces). Chaque point d'une courbe (ou d'une image fractale) pourra être associée à une note de musique, ou un son. Ne soyez pas effrayés par les maths : il n'est nul besoin d'être bon en mathématiques pour créer de la musique algorithmique ; il suffit seulement de faire usage d'équations prise «au hasard» , et d'être patient afin d'avoir la chance de tomber sur une forme esthétique, agréable à entendre. Sur ce site, vous pourrez écouter quelques compositions, et il vous sera expliqué la méthode sur des exemples.

GENERALITES SUR LES FORMES FRACTALES

Un fractal (ou une fractale) est un objet irrégulier, dont l'irrégularité est la même à toutes les échelles et en tous les points. Ils ont apporté une nouvelle forme de beauté. Beaucoup d'objets naturels possèdent des parties semblables au tout : une fleur de chou-fleur est un chou-fleur en réduction, une branche d'arbre est un arbre en miniature, etc. C'est cette remarque fondamentale qui va nous permettre de construire des objets fractals.

Nous commencerons par les figures fractales les plus simples.
Prenons l’exemple de la « courbe » ou « flocon » de Koch. Cette « courbe » s’obtient en appliquant à chaque côté d’un triangle équilatéral la transformation suivante : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée. À la première itération on obtient une image proche d’une étoile à six branches, puis au fur et à mesure des itérations successives la texture ressemble plus ou moins à un flocon de neige. Là encore, plus on zoom la « courbe », autant on observera les mêmes détails quelque soit le nombre d’itérations, même s'il tend vers l'infini (ou, au moins, assez important). Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que, puisqu’on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives, le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie. En réalité, à la première itération la longueur l de chaque côté est remplacée par 4 l / 3 ; à la deuxième elle devient 16 l / 9... Autrement dit, à chaque itération la longueur est multipliée par 4 / 3, ce qui signifie que (contrairement à l’intuition première) la longueur d’une courbe de Koch tend vers l’infini pour un nombre d’itérations infini. Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension des objets fractals. Nous savons tous qu’un point est une figure de dimension 0 ; qu’une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu’une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu’un volume est de dimension 3... qu’en est-il d’un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d’un objet. Sans entrer dans les détails on peut penser qu’un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n’emplissant qu’une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. En fait on peut démontrer que sa dimension est égale à log 4 / log 3. Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières. Enfin, une dernière propriété : cette courbe est continue en tout point, mais non dérivable en tout point (il n'est pas possible de tracer une tangente sur un point quelconque de la courbe).

GENERALITES SUR LES FORMES ALGEBRIQUES

Des étranges musiques ou images issues d'équations mathématiques particulières n'ont pas fini d'étonner, que ce soient les enfants de la génération techno, ou les plus anciens. Mais comment manipuler les paramètres d'une fonction mathématique ou d'une fractale sans être un as des maths ? Très simple : au hasard ! Une première méthode consiste, comme les enfants le font, à repérer des motifs pseudo- figuratifs dans les entrelacs des modèles choisis eux aussi au hasard. En cliquant sur les rubriques :
« musique algébrique et formes algébriques »
vous aurez un aperçu de la méthode.

GENERALITES SUR LE CHAOS

Les courbes fractales sont souvent reliées à la théorie du chaos. Certaines suites mathématiques (une condition nécessaire mais non suffisante est que leurs équations soit non linéaires, c'est à dire comportant des carrés) se caractérisent par une sensibilité extrême aux conditions initiales : il est impossible de prédire le comportement de la suite après n itérations (convergence ou divergence) dans une certaine région du plan ou de l'espace, tout simplement parce qu'un point initial donné et son voisin immédiat, quelle que soit l'échelle, produiront deux comportements très différents (convergence ou divergence de la suite qu'ils initient, à des vitesses plus ou moins rapides).